'패러독스'의 논리적 함정

창의력 쑥쑥 퀴즈

수학과 과학을 어려워하는 아이들의 공통점은 자신들이 배운 원리와 법칙이 다양한 조건에 노출되기 전의 이상적인 상황과 그것들이 일상생활에서 구체적 모습으로 나타나는 현상과의 차이를 알아차리지 못하는 데 있다. 그러다 보니 추상적 상상력이나 논리력도 기르지 못한다. 이론과 현실의 간극을 좁히고 사고력과 창의성을 키울 수 있도록 도와주는 글과 퀴즈 문제를 매주 연재한다.(편집자 주)

파라독스는 직관에 맞지 않는 상황이나 직관에 상충하는 모순을 만들어 내는 것처럼 보이지만 분명히 진실인 것을 말한다. 던져진 질문은 모순된 내용을 포함하지도 않고 수수께끼 같은 결과는 직관과 상충되지도 않으며 오히려 전제 자체가 진실이 아니거나 동시에 쓸 수 없는 것들인 경우가 있다. 밑에 깔려 있는 모호함이나 다중 의미가 과학, 철학, 수학 등에서 중요한 발전을 만들어 내기도 한다. 파라독스에 어떤 논리적 함정이 있고 어떻게 해결할 수 있는지를 다룬다.

<예제> 탁구공 파라독스

당신이 탁구공을 무한대 개 가지고 있다고 생각해 보자. 앞에는 탁구공을 던지면 무한정 담을 수 있는 수학자의 바구니가 있다. 공에 1, 2, 3… 으로 번호를 매겨 줄을 세워 둔다. 한 개의 번호는 공 한 개에만 쓸 수 있다. 먼저 1번 공, 2번 공, 3번 공 순으로 10개를 바구니에 던진다. 그리고 바로 바구니에서 1번 공을 꺼낸다. 20번 공까지 넣고 2번 공을 빼고, 계속 그 다음 10개 번호의 공을 넣고 10개씩 넣은 횟수에 해당하는 번호를 가진 공을 꺼내는 것을 계속한다. 이 실험은 전체 1분 동안 진행되며 첫 30초 동안은 10개 공을 통에 던지고 9개 공이 남는다. 나머지 시간의 절반(15초) 동안 11번에서 20번 공을 던지고 2번 공을 꺼내 18개 공이 바구니에 남게 한다. 그 다음 나머지 시간의 절반(7.5초) 동안 다음 10개 번호의 공을 던지고 바구니에는 총 27개의 공이 남게 한다. 다음에는 3.75초, 그다음에는 1.875초, 0.9375초… 해서 계속 남아있는 시간의 절반 동안 바구니에 번호 순서대로 10개씩 공을 던져 넣고 횟수에 해당하는 번호의 공을 1개씩 빼낸다. 이렇게 계속하다가 1분이 다 되면 실험은 끝난다. 이 실험이 끝났을 때 바구니에는 공이 몇 개가 들어 있을까?

직관적으로는 계속해서 남은 시간의 반을 이용하여 공을 10개 넣고 1개 뺀다면 공이 무한대 개가 남아있을 것 같다. 즉 1초 동안 9개의 공이 무한대 번 바구니에 들어가게 되는 것이니까 공의 수는 계속 증가하여 무한대가 된다고 생각된다. 그러나 다시 생각해 보면 1초 동안 공을 1개씩 차례대로 무한대 번 꺼내기 때문에 결국 무한대 개의 공을 꺼내게 된다. 1초 동안 실험을 진행하면서 무한대의 공을 넣었지만 동시에 무한대의 공을 꺼낸 것이 되어 0개가 된다. 이 문제의 하이라이트는 0과 ∞를 함께 다루는 것이다. 무한히 짧은 시간과 무한히 많은 양이 동시에 고려되어야 한다. 과연 수학자의 바구니에는 있는 공은 몇 개일까?

문미옥/이화여대 와이즈거점센터 연구교수 [e-mail]