수학과 논리의 절묘한 만남

주어진 논제 해결을 위해 올림픽 개최지 선정방법을 활용할 수도 있다. 과반수 득표도시가 없으면 가장 낮은 표를 얻은 한 도시를 탈락시킨 뒤 과반수 득표 도시가 나올 때까지 거듭 투표하는 방식이다. 2005년 7월 싱가포르에서 2012년 올림픽 개최지 선정투표를 앞둔 국제올림픽위원들이 후보 도시를 홍보하는 영상물을 보고 있다. <한겨레> 자료사진

최수일 교사의 수학 과학 비타민

수학에는 무조건 옳은 답과 틀린 답이 있고, 오직 정형화된 풀이 방법만 있다고 여기는 학생들이 있다. 그러나 수학에도 문제 해결자의 논리적이고 수학적인 생각을 의사결정 과정에 넣을 수 있는 방법이 있다. 현대 사회의 여러 문제들이 한 사람의 가치관이나 사상에 의해 해결되지 않고 토론과 합의를 통해 해결책을 찾아나가는 것처럼, 수학에서도 하나의 해결책이 제시되는 것이 아니라 다양한 해석이 나오고 합의의 과정을 거쳐 효과적인 대안을 찾아내는 경우가 많이 있다.

체조나 다이빙 경기에서 우승자를 정할 때, 심판들은 각 선수에게 점수를 부여하고 적당한 원칙에 따라 합의함으로써 우승자를 가린다. 이 때 점수 계산법을 만들기 위한 다양한 논리적 방법들이 제시되는데, 심사규칙을 입안하는 사람들의 논리적 사고의 방향에 따라 무척 다양한 방법이 나올 수 있다. 의사결정 과정의 다양성을 논리적이고 수학적으로 점검할 수 있는 사례를 살펴보자.

어느 신문 기사에서 발췌한 내용이다. “일본 전자업체들의 움직임이 심상치 않다. 2000년대 들어 한국의 대표적인 OO전자에 ‘전자왕국의 맏형’의 위상을 무참히 짓밟혔던 일본 전자업체들이 이제 칼날을 갈고 반격에 나서고 있다. 왕년의 ‘가전 황제’ 소니가 공식적으로 가전 명가 부활을 선언한 가운데 파나소닉 브랜드로 유명한 마쓰시타, LCD-TV의 최강자 샤프, 전통의 히타치와 미쓰비시 등도 지난 몇 년간의 설움을 털고 명성 찾기에 올인했다. 소니와 파나소닉의 가격할인 공세에 시달리던 OO전자는 지난해 말부터 가만히 당할 수는 없다는 각오 아래 비장의 무기를 준비했다. 그것은 바로 ‘디자인’이다.”

제품 모델 A, B, C, D에 대한 선호도 조사 결과

OO전자의 기획팀에서는 젊은 소비층을 공략하기 위한 디자인을 갖춘 제품을 출시하기 위하여 네 가지 모델 A, B, C, D를 시험적으로 준비해 소비자의 반응을 조사한 뒤 주력 상품을 결정하기로 했다. 이를 위해 예비 소비자 100명을 대상으로 선호도를 조사한 결과는 다음 표와 같다.

<문제1> 모델 A를 주력 상품으로 결정할 수 있는 타당한 이유를 제시하라.

<해설> 모델 A를 주력 상품으로 결정하려는 기획자는 자기 주장에 대한 근거를 들어야 한다. 선호도가 1위인 경우만 놓고 보아 47표로 최고 득표라는 점을 근거로 들 수 있다.

<문제2> 모델 A가 반드시 주력 상품이 될 필요가 없는 이유를 근거를 들어 설명하고 어떤 대안이 가능한지 서술하라.

<해설> 선호도 조사이므로 1위만 중요한 것이 아니라 2, 3, 4위의 분포도 중요한 역할을 한다. A가 47표로 최고 득표이긴 하나 과반수를 넘지 않는다는 점도 불안한 부분이다. 실제로 A가 1위를 하지 않는 다른 분포에서 A의 위치는 3, 4위권에 머무른다. 그렇다면 선호도에 따라 점수를 매기는 방식을 생각해 보자. 1위를 한 경우 4점, 2위에는 3점, 3위에는 2점, 4위에는 1점을 주기로 하고 각 모델별 점수를 집계한다.

A=4×47+2×39+1×14=280(점), B=4×14+2×30+1×56=172(점) C=4×28+3×42+1×30=268(점), D=4×11+3×58+2×31=280(점)

이렇게 되면 1위 득표수가 가장 적은 모델인 D의 점수가 A에 뒤지지 않는다는 점을 알 수 있다. 또 다른 방법도 있다. 표를 살펴보면 C가 주로 위쪽에 분포하고 있다는 점을 알 수 있다. 어차피 경쟁이라면, 네 가지 모델을 모두 놓고 생각하는 것이 합리적이라고 할 수는 없다. 그러니 두 모델씩 묶어 비교하고 점수를 매기는 방식도 생각해 볼만 하다. 요즘 대선을 앞두고 특정 후보 두 명만을 비교하여 여론 조사를 하는 것도 이와 같은 방식이다. 두 모델을 비교해 앞서면 1점, 뒤지면 0점, 똑같은 경우에는 각각 0.5점씩을 주기로 한다. 6가지 경우의 수가 나온다.

A:B=86:14(A가 1점), A:C=47:53(C가 1점), A:D=47:53(D가 1점), B:C=44:56(C가 1점), B:D=14:86(D가 1점), C:D=59:41(C가 1점)

결과를 계산하면 최고는 3점을 얻은 C이고, 그 다음은 2점을 얻은 D이며, A는 겨우 3위에 그쳤다. 과연 A가 최고 경쟁력을 가진 모델이라고 주장할 수 있을까?

<문제3> 선호도 조사 결과를 바탕으로 회사의 주력 상품을 결정하는 가능한 방법들을 예를 들어 논하라.

<해설> 올림픽 개최지 결정 방식을 떠올려 보자. 올림픽 개최지는 국제올릭픽위원들의 투표로 결정되며, 과반수 이상 득표 도시가 없으면 가장 낮은 표를 얻은 한 도시를 먼저 탈락시키고 다시 투표를 해서 과반수 이상 득표한 도시가 나올 때까지 계속한다. 이런 방식으로 꼴찌를 제거해 보자. 처음에 1위표가 과반수가 없으므로(A:47, B:14, C:28, D:11) 꼴찌인 D를 제거한다. 그러면 D의 11표는 C의 것이 되며(A:47, B:14, C:39), 여전히 과반수가 없으므로 다시 꼴찌인 B를 제거한다. 그러면 B의 표 14표는 다시 C의 것이 되어(A: 47, C:53) 모델C가 최종 결정된다.

최수일 용산고 수학교사

이처럼 선거 결과는 명백해도 결과를 도출하기 위한 과정은 여러 가지 방식이 가능하기 때문에 선거를 하기 전에 그 과정에 대해 합의하고 원칙을 미리 정해야 한다. 이런 문제를 해결해 나가다 보면, 사회적으로 혹은 일상생활에 존재하는 다양한 의사결정 과정을 과학적이고 논리적으로 관찰하고 사고하는 힘을 기를 수 있다. 용산고 수학교사