‘조삼모사’가 옳은 이유

이동흔 교사의 수학비타민 / 난이도 고2~고3

장자(莊子)에 ‘조삼모사’(朝三暮四)라는 우화가 있습니다. 내용은 다음과 같습니다.

중국 춘추전국시대에 송나라의 저공이라는 원숭이 할아버지가 살았습니다. 저공은 원숭이를 많이 길렀는데 먹이가 점점 부족해지자 하루에 주는 도토리의 수를 제한하기로 결심했습니다. 하루는 할아버지가 원숭이들에게 얘기했습니다.

“이제부터 아침에는 도토리 3개, 저녁에는 도토리 4개를 주어야 될 것 같구나 ”
이야기를 들은 원숭이들은 불같이 화를 내며 불평했습니다.
어찌할 바를 모르던 저공은 잠시 기다리다가 꾀를 내어 다시 말을 했습니다.
“예들아, 아침에 4개, 저녁에 3개를 줄게”
이 말을 들은 원숭이들은 무척 좋아했다고 합니다.

이 이야기에 나오는 고사 성어 “조삼모사”는 눈앞의 이익에 눈이 멀어 멀리 내다보지 못하는 원숭이들의 어리석음을 두고 하는 말입니다.
오랜 세월이 흐른 요즘사회에서 수학자의 입장으로 원숭이의 결정을 되돌아보면 그 결정이 옳았다는 것입니다. 결코 동의할 수 없는 일이지만 그렇게 될 수밖에 없다는 것입니다. 왜냐하면 오늘날 자산을 분석하는 데 가지고 있는 자산의 크기도 중요하지만 자산을 처음 소유한 시간이 더욱 중요하다는 것입니다. 시간이 돈이라는 속담이 참임을 바로 느낄 수 있습니다.

일반적으로 복리계산에 다음과 같은 수학 개념이 사용됩니다. 원금 ａ를 이자율 ｒ%로 은행에 ｎ년 동안 넣어두면 ｂ원이 된다고 할 때, ａ를 ｂ의 현재가치라고 하고 ｂ를 ａ의 미래가치라고 하며 다음을 만족합니다.

누군가가 여러분에게 10만원을 오늘 또는 10년 후에 주겠다면 여러분은 어떤 시기를 선택하는 것이 유리할까요? 당연히 오늘 10만원을 받는 쪽이 유리할 것입니다. 왜냐하면 오늘 10만원을 받아 은행에 예금하면 금액의 미래가치는 더욱 커지기 때문입니다.

다시, 시중은행의 이자율이 5%일 때, 누군가가 여러분에게 10만원을 주거나 10년 후에 20만원을 주는 것 중에 어느 것을 선택하겠느냐고 묻는다면 여러분은 어떤 쪽을 선택하겠습니까? 10만원은 10년 후 미래 가치는 원이 되고 10년 후에 받을 10만원의 현재가치는 원이 되므로 10년 후에 20만원을 받는 것이 현재 10만원을 받는 것보다 유리할 것입니다.

그런데, 이자율이 달라지면 상황은 또 달라집니다. 즉, 시중은행의 이자율이 8%로 올라가면 20만원의 현재가치는 원이 되므로 10만원을 받는 것이 유리하겠지요. 이와 같이 수학적인 연산은 경제를 편리하게 관찰하는 데 매우 중요한 도구인 것입니다.

이제 현실적인 현상을 가지고 이야기해봅시다. 한 자동차 생산 기업이 공장을 새로 짓는 데 1조원이 들고 10년 후에 2조원의 수익을 창출할 수 있다면 자동차 공장을 건설하는 것이 유리할까요?

의사결정을 위해서는 현재의 수입 1조원의 가치와 미래의 수입 2조원의 가치를 비교해야 할 것입니다. 위의 사례를 참고하면 미래 2조원의 현재가치는 1조 2600억원이 되는 것을 알 수 있고 공장을 짓는 비용보다 현재가치가 큰 것을 알 수 있습니다. 따라서 공장을 짓는 편이 더 유리할 것입니다. 그러나 이자율이 8%라면 2조원의 현재가치는 9300억원이므로 투자를 포기하는 게 더 유리하겠지요.

이제 다음 문제를 통하여 경제 속에 숨어있는 수리통합적인 사고 훈련을 해보기로 합시다.

■ 제시문

중앙은행이 본원통화를 공급하면 시중에서 그 일부가 유통되고 나머지는 다시 예금은행에 예금된다. 이 때 은행은 예금액의 일부만을 고객의 인출에 대비해 지급준비금으로 남겨두고 나머지는 대출 등의 방법으로 시중에 다시 공급하게 된다. 이런 은행의 대출과 사람들의 예금과정이 되풀이되면 중앙은행이 처음에 공급한 돈은 그 몇 배로 커지게 되고 이것을 은행에 의한 예금통화의 창출이라 한다. 즉, 한국은행이 예금은행을 통해 만기가 된 국공채의 원리금 1억원을 채권의 보유자인 갑에게 지급하고 갑은 1억원 모두를 한 은행에 예금했다고 해보자. 예금을 받은 은행은 예금액의 12%를 지급준비금으로 보유하고 나머지를 을에게 대출하게 되면 새로운 예금 통화 8800만원이 창출되는 것이다.

논제1

국공채를 가지고 있는 갑은 채권이 만기가 되어 원리금 1억원을 한국은행에서 받았다. 갑은 1억원 전액을 A은행에 신규로 예금하였고 A은행은 지급준비금을 제외한 전액을 대출했다. 그 때 마침 을이라는 사람이 이 금액을 대출받아 이 돈을 모두 B은행에 예금했고, B은행은 지급준비금을 제외한 전액을 다시 C에게 대출했다. 이 과정이 무한히 반복되었을 때 예금통화의 총액은 얼마나 되는지 예측하라.

전제조건

은행은 예금의 10%를 지급준비금으로 보유하는 것을 원칙으로 한다. 사람들은 현금을 지갑에 남기지 않고 모두 은행에 예금한다고 가정한다.

논제2

국공채를 가지고 있는 갑은 채권이 만기가 되어 원리금 1억 원을 한국은행으로부터 받았다. 갑은 1억원 전액을 A은행에 신규로 예금했고 A은행은 예금의 20%를 지급준비금으로 은행이 보유하고 나머지를 대출하는 과정을 무한히 반복했다면 총 예금통화량은 지급준비율이 10%일 때와 어떤 차이가 있는지 설명하라.

■ 예시답안 1

총 예금통화의 규모는 무한 등비급수의 합을 이용해 표현할 수 있다.

총 예금통화 규모 = A은행 예금 + B은행 예금+ C은행 예금 + D은행 예금 + … =

따라서 총예금통화의 규모는 10억원이다.

■ 예시답안 2

지급준비율이 20%일 때 총 통화의 규모는

총 예금통화 규모 = A은행 예금 + B은행예금 + C은행예금 + D은행예금 + … =

따라서 총예금통화의 규모는 5억원이다. 지급준비율을 높이면 총 예금통화의 규모가 감소하게 돼 통화량이 감소하게 된다.

이동흔 남강고 교사 [e-mail]