정사각형만을 위한 피타고라스 정리?

펠리갈의 증명

창의력 쑥쑥 퀴즈

직각을 이루는 두 변의 길이가 a, b 이고 직각에 마주보는 대변의 길이가 c 일 때 피타고라스의 정리는 a제곱 + b제곱 = c제곱 이라고 알려준다. 즉, 직각삼각형의 짧은 두 변을 길이로 하는 두 개의 정사각형 넓이를 합하면 긴 변을 길이로 하는 정사각형의 넓이와 같다. 이를 증명하는 방법이 280 가지가 넘는다고 한다. 피타고라스 자신의 증명법으로 알려진 것도 여러 가지가 있고 유명한 수학자 유클리드도 독특한 증명을 제시했다. 정사각형의 넓이를 이용하여 증명하는 방법으로 도형을 분할하는 방법이 아주 다양하게 있다(그림1). 우리나라에도 신라시대의 "주비산경"이라는 책에서 구(3), 고(4), 현(5)으로 하여 '구고현의 정리'라는 피타고라스 정리와 같은 것이 있었다. 구고현의 정리는 대규모 건축이나 토목공사에서 이용되었다. 피타고라스 정리를 만족하는 길이를 활용하여 직각을 만들어 내는 데 거꾸로 이용되기도 한다. 또 무리수의 크기를 계산을 하지 않고 근사치를 얻는 방법으로도 쓰인다.

그런데 피타고라스의 정리는 정사각형의 넓이에만 적용이 될까? 그림 2처럼 만약 각 변을 길이로 하는 정삼각형이나 정오각형, 또는 원의 넓이에도 같은 방식이 해당될까? 그러면 정다각형에만 피타고라스의 원리가 해당될까?

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지난주 정답
수학자의 바구니에 남은 공은 무한히 많다. 무한은 더하거나 빼는 것이 보통의 수와는 다르다. 자연수는 무한히 많다. 짝수도 무한히 많고 하나씩 세어서 자연수와 무한히 일대일 대응을 할 수 있다. 그래서 자연수와 짝수의 집합의 크기는 같다. 크기가 같은 것을 서로 빼면 0이 아닌가. 그러나 단순히 생각해도 무한히 많은 자연수에서 무한히 많은 짝수를 빼면 무한히 많은 홀수가 남는다. 크기가 같지만 빼도 더해도 무한이다.