수학적 착시

수학 과학 비타민/

다음은 착시 현상을 설명하는 대표적인 그림이다. 왼쪽 그림(①)에서 가운데 있는 점을 바라보며 얼굴을 앞뒤로 움직여 보면 두 원이 서로 반대 방향으로 돌아가는 것으로 보인다. 그 아래 그림(②)위의 도형을 색깔별로 잘라 위치만 바꿔서 아래와 같이 다시 조립했을 때 빈 공간이 생기지만 왜 차이가 나는 것인지를 금방 알아차리기가 어렵다. 세상에는 이와 같이 서로 똑같은 것 같으면서도 차이가 나는 것들이 종종 있고, 그 차이의 원인을 직관적으로나 상식적으로 발견하고 쉽게 이해할 수 없는 경우가 많다.

이와 같은 것들에 대한 착각을 해결하기 위해서는 좀 더 정확한 사고와 관찰이 필요할 것이다. 수학을 정확히 사용해야 한다. 수학적인 논리를 이용해 체계적인 생각을 거쳐 올바른 답을 정해도 수학적으로 착각을 하게 되는 경우가 수학에서는 충분히 많이 있다.

이와 같은 착시 현상의 원인을 발견하기 위해서는 좀 더 정확하게 수학을 이용해야 한다. 직관적으로 살펴보면 답이 간단히 나올 듯하지만 좀 더 자세히 알아보면 의외의 결과를 얻는 경우가 있다. ③번 그림을 보자.

A에서 G까지 7개의 지점을 그림과 같이 연결한 미로에서 이웃한 두 지점 간의 거리는 모두 같다. 이 미로의 두 지점 사이에는 서로 다른 장애물이 많이 있어 두 지점 사이를 이동할 때, 그림과 같이 시간이 소요될 경우, A를 지나지 않고 G에서 D까지 최단 시간에 이동하는 경로를 구하라는 문제가 주어졌다. 그림에서 거리에만 집착하게 되면 많은 사람들은 G에서 바로 D로 가는 경로가 최단경로인 것으로 착각을 하게 돼 있다.

그러나 수학을 이용해 해결하면 다음과 같다.

이웃한 두 지점 사이의 거리를 a km라 하고(시간)=(거리) / (속도) 임을 이용해 소요된 시간을 비로 나타내보면

임을 알 수 있다.

따라서 각 구간별 소요시간을 계산해보면

G-D(6)

G-C-D(2+4=6)

G-B-C-D(1+3+4=8)

G-E-D (4+2=6)

G-F-E-D(2+1+2=5)

이므로 G-F-E-D가 가장 빠른 길임을 알 수 있다.

이와 같이 수학문제를 해결할 때 직관적인 생각만으로 문제를 해결하는 것은 위험하다. 문제의 상황에 알맞은 정의와 개념을 이용해 문제를 해결하는 연습이 무엇보다 중요하다.

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예시 문제

지난해 12월 겨울방학 전에 경남 창원시청은 아르바이트 학생들을 모집했다.(④번 사진) 너무 많은 학생이 몰리자 창원시는 공개 추첨을 하기로 했다. 몰려든 400명의 학생들이 순서 있게 줄을 서 1개의 제비를 선택하는 방식으로 아르바이트 공개추첨을 하기로 한 것이다. 이 행사에서 아르바이트 자리가 30명으로 제한되어 있다고 가정할 때, 다음 물음에 답해보자.

창원시청 아르바이트 공개 추첨 모습

아르바이트를 신청한 A, B 두 학생은 공개 추첨을 한다는 소리를 듣고, 그것도 줄을 서서 선착순으로 추첨을 한다는 원칙을 듣고는 전날부터 추첨장 앞에서 텐트를 치고 잤다. 다음날 새벽에 두 사람은 또 고민이 생겼다. 누가 먼저 추첨을 할 것인가? 친구 사이이긴 해도 그냥 맨 앞자리를 양보할 수 없어 가위바위보를 했다. 그 결과 A가 가장 먼저 하기로 했고, B는 두 번째 추첨을 하기로 했다. 추첨함에서 처음 제비를 선택한 학생 A와 두 번째로 선택한 학생 B 중 누가 더 아르바이트 자리를 얻게 될 확률이 높은지 논리적으로 기술하라.

예시 답안

처음 학생 A가 아르바이트 당첨제비를 뽑을 확률

이다.

두 번째 학생 B가 아르바이트 당첨제비를 뽑게 되는 경우는 두 가지로 나누어 생각한다.

(i) A가 당첨제비를 뽑을 경우

(ii) A가 당첨제비를 뽑지 않을 경우

그러므로 B가 당첨될 확률은 이 두 경우에 대해 다음과 같이 덧셈 정리를 이용한다.

따라서 두 학생 A, B가 아르바이트 당첨제비를 뽑게 될 확률은 같다.

이런 결과는 상식적으로 이해가 되지 않을 수도 있다. 그러나 수학적으로 전혀 이상이 없는 결과이므로 앞으로는 제비 뽑을 때 먼저 뽑으려고 밤을 새는 바보가 되지 않으면 큰 공부를 한 것이다.

추가 정보

위에서는 처음 두 명에 대해 계산을 했다. 그러나 세 번째 사람에 대해 같은 방법으로 계산을 하는 것은 쉬운 일이 아니다. 그래도 그 결과는 똑같을 것이라는 것을 의심할 필요는 없다. 이를 일반화해 보자.

만약 먼저 제비를 뽑은 n명이 k개의 제비를 선택하였을 때, n+1번째에 제비를 뽑을 확률을Pn+₁이라 하면

이고 이것들을 계산하면 다음 결과가 나오지만 계산은 무척 복잡하다.

이 결과를 믿는다면 제비뽑기는 가장 공평한 방법이라는 점을 확신할 수 있을 것이다. 최수일/용산고 수학교사, 이동흔/남강고 수학교사