수학에도 번역이 있다.

별똥별 속에 숨어 있는 신의 섭리

이동흔 교사의 수학 비타민 /

우리가 알고 있는 자연은 신이 만들어 놓은 위대한 규칙에 따라 오류조차 없이 움직이며 돌아간다. 심지어 우연이라고 말할 수 있는, 별똥별이 떨어지는 현상마저 신이 정해 놓은 위대한 규칙들 속에서는 하나의 약속 이행 과정에 불과하다. 자연과 우주는 수천년 동안 우리 앞에 놓여 있었고 사람들은 자신들이 아는 언어로 자연을 이해하려 노력해 왔다. 그리고 자연을 알려는 인간의 호기심은 인간에게 수학이라는 관찰 도구를 만들어 자연이 갖는 심오한 비밀을 볼 수 있는 기쁨을 가져다 주었다. 이처럼 수학은 자연의 언어를 사람이 이해할 수 있는 언어로 바꾸는 번역 프로그램인 셈이다. 즉, 우리가 접하게 되는 수많은 현상은 수학이라는 도구에 의해 사람들이 이해할 수 있는 기호 언어로 해석돼, 인간으로 하여금 미래를 볼 수 있게 한 것이다. 사실 미래를 보려는 인류의 노력은 인류가 존재하는 한 영원히 존재할 딜레마이다.

이렇게 관찰자에 의해 관찰된 여러 자연 현상과 사회 현상을 수학기호나 수식으로 바꾸어 간단하게 정리한 뒤 함수나 방정식과 같은 예측용 도구를 만들어 변화하는 미래를 보게 되는데, 이런 작업을 ‘수학적 모델링’이라 한다. 이 과정은 마치 타임머신을 타고 미래를 여행하는 것처럼, 수학으로 미래를 조금이나마 볼 수 있게 하는 아찔한 여행의 과정인 셈이다. 이처럼 수학의 매력은 수리 과학적 지식을 생활 주변의 여러 문제 상황에 적용해 무의미하게 보였던 현상을 수학으로 살아 숨쉬게 한 것이다.

통합논술에서 수학적 모델링은 과연 어떤 의미가 있을까? 지금까지 우리가 배운 수준의 수학을 이용해 자연의 초등적인 현상을 모델링하여, 예측용 함수나 해석의 기준을 만들어 문제 속의 현상을 논리적으로 관찰해 보는 것이 수리 논술의 핵심 과제인 것이다. 예를 들면 다음과 같다.

한 농가에서 키우는 가금류에 조류독감이 감염되었다고 하자(우리는 이런 현상을 문제의 발생이라고 한다). 우리가 짧은 시간 안에 조류독감 바이러스에 감염된 조류 수를 예측해 대책을 마련하려면 좀 더 체계적인 정보 해석이 필요하다.

조류 독감은 감염된 조류와 비감염된 조류의 접촉에 의해 전염되며, 감염된 조류의 증가율은 감염된 조류와 비감염된 조류의 접촉에 비례하고 감염된 조류와 비감염된 조류의 접촉 횟수는 감염된 조류와 비감염된 조류의 곱에 비례한다는 사실을 알았다.

만약 가금류 5천 마리를 키우는 농가에서 조류독감에 감염된 조류 5마리를 발견했을 때, t일 뒤에 감염된 조류의 수를 예측하려면 주어진 현상을 수학적으로 해석해 예측하는 과정이 필요하다. 이 과정을 수학적 모델링이라 하고 다음과 같이 함수를 만들어 예측용 도구로 삼게 된다.

이제 주어진 논제를 하나의 자연현상이라 생각하고 수식과 기호를 이용해 문제를 수학적으로 모델링하는 연습을 해 보자. 이 과정을 통해 수학의 즐거움을 되찾게 되고 수학이 여러분의 힘이 되길 기원한다.

■ 예시문제

세상의 많은 질병들은 전염성이 있다. 여러분은 이미 감염돼 있는 누군가를 통해 전염병에 걸리게 된다. 전염병인 홍역의 전달 모형은 다음과 같은 가정 아래 만들어진다.

“병세가 가벼워서, 병에 걸린 어떤 사람도 궁극적으로 회복된다. 모든 회복된 환자는 홍역에 대한 영구 면역을 갖게 된다. 전염병에 영향을 받는 사람들의 인구는 일정하고 한정된 지역에서 사는 것으로 가정한다.”

“일반적으로 대도시의 초등학생 집단이 위의 조건을 만족하는 샘플집단이라 할 때, 모든 사람은 다음 세 부류 중에 하나로 나뉜다.

감염 가능자(S)-병에 걸리지 않았으나 병에 걸릴 가능성이 있는 사람. 감염자(I)-현재 병에 걸려 있고 전염을 시킬 수 있는 사람. 회복자(R)-병에 걸린 적이 있어 현재 면역을 가지고 있는 사람”

이 때, 시간에 따른 에스(S), 아이(I), 아르(R)의 관계식을 도함수로 나타내고, 그 관계를 200자 이내로 설명하라.

■ 풀이

시간에 따른 감염자의 수(I)는 처음에는 몇 명이지만 시간이 지나면 갑자기 증가했다가 일정 시간이 흐르면 감소해 안정되는 모형을 갖고 있으므로 <그림1>과 같다. 그리고 시간에 따른 감염 가능자의 수(S)는 처음에는 많지만 점점 줄어들어 <그림2>와 같이 될 것이다. 마찬가지로 시간에 따른 회복자의 수(R)은 처음에는 작지만 시간이 지나면 차츰 증가해 나중에는 일정한 값을 갖게 되므로 <그림3>처럼 표현된다.

그리고 감염된 사람의 수를 평균 감염된 날짜 수로 나눠 회복자의 수의 변화량을 예측할 수 있으므로 dR/dt=I/k(k는 병에 걸려서 회복 될때까지의 평균 발병일)로 나타낼 수 있다. 또 감염 가능자와 감염자의 접촉에 비례해 감염 가능자의 수가 감소하므로 dS/dt= - aSI 로 표현된다. 마지막으로 감염자 수의 변화는 감염 가능자 수의 변화에 반대되고 회복자 수의 변화에 반대되므로 dI/dt=- dS/dt - dR/dt= aSI - I/k 로 표현할 수 있다.

남강고 교사 [e-mail]