문제 ‘해석의 틀’ 바꿔야 한다

비트켄슈타인의 그림

이동흔 교사의 수학비타민 /

[난이도 = 고등]

만일 ‘젓가락’을 사용하지 않는 식생활 문화를 가지고 있는 어떤 사람이 우리의 ‘젓가락’을 보았다고 가정해 봅시다. 아마도 손으로 식사하는 문화를 가지고 있는 민족은 젓가락을 공사 중에 사용하는 삽과 같은 도구로 생각하고 불필요한 물건으로 여길지도 모릅니다.

오히려 자신들이 가진 문화 안에서 젓가락과 가장 비슷하게 생긴 대상을 떠올리고 그 대상에 해당되는 단어를 사용할 확률이 높을 것입니다.

오른쪽의 그림은 비트겐슈타인의 그림입니다. 어떤 사람은 이것을 오리라고 볼 수 있고 어떤 사람은 이것을 토끼라고 볼 수 있으나 그림은 불변하고 그것을 보는 사람들의 생각과 관점의 차이에 의해 해석이 서로 다르게 나타나고 있을 뿐 입니다. 이것을 보고 비트겐슈타인은 인간은 각자 나름대로의 해석의 틀이 있고 그 틀 위에서 사물을 새롭게 이해하고 재정립한다고 생각했습니다. 예를 들면, ‘7’이란 수를 동양에서는 좋은 수로 생각하지만, 서양에서는 좋지 않은 수로 생각하는 것은 사물을 이해하기 전에 사물을 해석하는 사회적인 틀이 각 사람마다 정해져 있기 때문에 동일한 현상과 사물이라도 다르게 해석될 수 있다고 생각했습니다.

토마스 쿤은 <과학 혁명의 구조>라는 책을 통해 과학의 발전은 점진적인 지식체계의 진화가 아니라 ‘해석적 틀’의 이동에 의한 획기적인 변화 과정이라고 정의했습니다. 과학과 마찬가지로 수학 또한 문제해결의 과정에서 문제를 관찰하고 해석하는 각 개인의 틀을 붕괴할 때, 수학적인 문제 해결 기술의 발전이 있습니다.

예를 들어, 다음과 같은 복잡한 수의 곱셈을 생각해봅시다.

‘어떻게 이렇게 신기한 일이 일어났느냐’하는 것입니다. 만약 이것이 우연히 발생한 현상이라고 생각한다면 여러분들은 수학의 신기한 세계로 들어가는 관문을 닫아버리는 꼴이겠지요. 하지만 여러분들이 생각의 틀을 바꾸어 다음 연산의 과정을 살펴본다면 놀라지 않을 수 없을 것입니다.

즉, 1428577×7=999999이고 다음과 같은 무한 분수의 계산에서 위 식의 곱셈의 특징을 발견하게 된다는 것입니다.

와 같이 사고의 확장으로 가져가고 분모가 소수일 때 순환하는 마디의 수도 소수가 될 수 있다면 분수로부터 곱셈을 하지 않고도 소수를 찾아내는 전략이 될 수 있고 이와 같은 과정이 패러다임의 변화를 보여주는 한 예인 것입니다. 결론적으로 수학에서의 논술적인 사고란 한 문제를 새로운 해석의 틀에서 관찰하는 능력을 키우는 데 있다 하겠습니다.

■ 예시문항

현명이는 배낭여행을 위해 필요한 품목의 무게와 그 품목의 가치를 점수로 나타내었더니 다음과 같았다.

현명이가 운반할 수 있는 배낭의 무게는 ‘13.5kg이하’라고 한다면 배낭에 꾸려진 품목의 가치의 합을 되도록 크게 하려면 영수는 어떻게 배낭을 꾸려야 할지 논하라.

■ 예시답안

무게가 무거운 것부터 차례로 배낭을 꾸렸을 때, 가치의 합을 생각해보면 다음과 같다.

다음은 가치가 높은 것부터 배낭을 꾸렸을 때의 결과입니다.

마지막으로 kg당 가치를 참고하여 다시 표를 만들어보면 다음과 같고

13.5kg 이하를 꾸리면 24의 가치를 담을 수 있으므로 처음 방법보다는 효과적입니다. 그리고 두 번째 방법과는 가치는 같지만 무게가 가벼우므로 가장 효과적인 배낭꾸리기가 될 수 있는 것입니다.

남강고 교사 [e-mail]