각 그릴 때 ‘선분’ 역할 잊지말자

[활동1] 선분을 한변으로 하고, 크기가 45인 각을 그려보아라. 친구들과 비교하여 보아라 (교과서 4-가, 40쪽)

수학개념 쏙쏙

한점에서 두 직선 그리면 각이 만들어져요
각의 변은 선분이에요 선분은 끝에 점이 있답니다.

여기는 초등학교 4학년인 영선이네 교실. 지금은 수학시간으로, 아이들은 각에 관한 단원을 학습하고 있는 중이다. 영선이와 아이들은 다음 활동 문제를 크게 읽었다.

그리고는 각자 각을 그렸다. 영선이도 각도기를 들고 자신 있게 각을 그린 후, 친구들과 비교를 하려고 같은 모둠 아이들이 그린 것을 들여다 보았다.

친구들의 답(위)과 영선이의 답(아래)

다른 친구들이 그린 각은 모두 끝점에 있지만, 영선이의 각은 중간에 있다. ‘어? 내 답이 틀렸나?’ 영선이는 속으로 불길한 생각이 이상한다는 들었지만 그래도 자신은 답이 맞았을 거라고 생각했다. 영선이는 맞았을까, 틀렸을까?

답을 확인하기에 앞서, ‘각’을 학습하는 것과 관련된 내용에 대해 먼저 알아보자. 영선이는 이미 2학년 때, 선분과 직선에 대해 배웠었다.

따라서 영선이는 양끝에 점이 있는 선이 선분이고, 그 양 끝 점을 지나 양쪽으로 끝없이 뻗어가는 선을 직선이라는 것을 이미 알고 있었다. 그리고 3학년 때는 ‘각’의 정의를 배웠었다.

한 점에서 그은 두 직선으로 이루어진 도형을 각이라고 합니다. 그림에서 점 ㄴ을 각의 꼭지점이라 하고, 두 직선 ㄱㄴ,ㄴㄷ을 각의 변이라고 합니다. 또, 이각을 각 ㄱㄴㄷ이라고 합니다. (교과서 3-가, 37쪽)

이 때, 각이 선분으로 이루어진 도형이 아니라 ‘한 점에서 그은 두 직선으로 이루어진’ 도형이라는 것을 알았다. 그리고 오늘 수업에서는 방금 전 앞쪽(39쪽)에서, 각도기를 가지고 각도를 재는 법에 대해서도 배운 터였다.

영선이가 지금 풀고 있는 활동 1로 돌아가 보자. 문제에서는 ‘선분을 한 변으로 하고 크기가 45도인 각을 그려 보라고 하였다. 수학적인 정의에 따르면, 각의 변은 선분이다. 따라서 이 문제에서 의도한 것은 문제에 제시된 선분을 하나의 변으로 하는 각을 그리는 것이다.

(교과서 3-가, 39쪽)

하지만 영선이는 ‘선분’이라는 단어를 제대로 읽지 않았다. 만약 선분이었으면 좀 더 짧게 그려졌어야 한다고 생각했다. 문제 속에 그려진 직선이 길어서 직선의 아무데서나 각을 그릴 수 있다고 본 것이다. 문제에서 분명히 ‘선분’이라고 했으므로 다른 친구들의 답은 모두 맞았다. 하지만 영선이는 중간에 각을 그렸으므로 잘못 그린 것으로 볼 수 있다. 하지만 영선이의 부주의만 탓할 문제는 아니다. 이미 선분과 직선의 차이를 배웠고, 각의 정의를 ‘직선’으로 이루어진 도형이라고 배운 이후에는 각 단원에 나온 ‘선분’이라는 용어를 자칫 무시하게 될 수도 있기 때문이다.

중학교에서는 각에 대해 다음과 같이 정의한다.

한 점에서 시작하는 두개의 반직선으로 이루어진 도형을 각이라 하고, 반직선이 시작하는 점을 각의 꼭지점, 각각의 반직선을 각의 변이라고 한다 (7-가, 40쪽(교문사))

중학교 과정에서 배우는 ‘각’은 선분도 아니고 직선도 아닌 ‘반직선’으로 이루어진 도형이다. 하지만 초등 과정에서는 이를 분명히 하고 있지 않다. 게다가 초등 아이를 지도하는 사람들(부모, 사교육 강사)들은 이미 중학 과정을 통해 정확한 각의 정의를 배운 상태다. 따라서 이미 각과 각도에 대해 정확히 알고 있기 때문에 영선이와 같은 오류를 범하는 것 자체를 이해하지 못하게 된다. 영선이의 오류를 이해하기보다는 “문제를 똑바로 읽어라.”라거나, “각은 언제나 끝에 그려야 한다는 걸 아직도 모르겠니?”라고 야단치는 경우가 많을 것이다.

바로 다음 쪽에는 이런 문제가 있다.

(교과서 4-가, 40쪽)

영선이로서는 다음 쪽에 있는 이 문제도 어렵기만 할지 모른다. 여기서 두 번째 문제는 ‘두 각을 다음과 같이 만들고, 각도를 재어 보아라.’이다. 이 활동문제는 각도의 합과 차를 어떻게 구하는지를 알도록 이끄는 과정이다. 하지만 재어야 할 각이 어느 각인지 잘 알 수 없다. 물론 교과서에는 각도를 재어야 할 부분을 하늘색으로 표시하였지만, 잘 알기 힘들게 되어 있다. 그렇다보니 ‘각이 다 나와 있는 데 뭘 또 구하지?’하고 어리둥절해 하는 학생들이 생길 수 밖에 없다.

중·고 과정을 거쳐서 각이 무엇인지, 각도를 어떻게 구하는지 잘 알고 있는 어른들이 보기에는 교과서 문제도 제대로 못 푸는 아이가 이해할 수 없을 것이다. 하지만 아이들의 혼란에 대해 ‘부주의함’으로 몰기에는 무리가 있다. 각을 처음 배우는 학생들이 겪는 혼란의 근원이 어디인지 파악하고 근본적인 혼란을 줄이기 위한 다각적인 노력이 필요하다.

강미선/<개념잡는 초등수학 사전> 저자 [e-mail]