원리를 알아야 정답이 보인다

수학개념 쏙쏙 / 3학년인 익재는 얼마 전에 덧셈과 뺄셈을 배우면서 다음 문제를 풀었다.

<문제1>

다음 숫자 카드를 한 번씩 사용해 세 자리 수를 만들 때, 가장 큰 수와 가장 작은 수의 차는 얼마입니까?

“이런 문제는 누워서 떡먹기지~. 가장 큰 세 자리 수를 만들 때는 3, 5, 6, 9 중에서 큰 순서대로 3개를 쓰면 되고, 가장 작은 세 자리 수는 작은 순서대로 3개를 쓰면 되니깐!”

익재는 가장 큰 세 자리 수는 965, 가장 작은 세 자리 수는 356이라고 썼다. 그런 다음 차를 구하기 위해 965에서 356을 빼, ‘609’를 답으로 썼다. 익재가 쓴 답은 정답이었다.

‘곱셈’ 단원에 들어와서도 위 문제와 비슷한 문제들이 나왔다. 지난번 문제는 그냥 큰 수나 작은 수를 만들라는 것이었지만 새로운 문제는 곱셈을 하는 것이었다.

<문제2>

다음 숫자 카드를 한 번씩 사용해 (세 자리 수)×(한 자리 수)를 만들 때, 가장 큰 수는 얼마입니까?

“이것도 뭐 비슷하겠지. 세 자리 수를 만들 때는 일단 가장 크게 만들고 남은 수를 곱하면 되는 거 아냐?”

익재는 자신만만하게 ‘965×3=2895’이라고 썼다. 그런데 정답이 아니었다. 계산 실수를 했나 싶어서 다시 풀어봐도 마찬가지다.

“어? 이상하다…. 이게 왜 답이 아니지? 그럼 일일이 다 해 봐야 하나?”

이렇게 저렇게 수를 만들고 보니, 세 자리 수 만드는 경우가 생각보다 많은 게 아닌가.

365×9, 356×9, 695×3, 693×5….

“으악, 이걸 언제 다해!”

익재는 도저히 엄두가 나지 않아서 그냥 포기했다. 그리고 그 다음 문제를 봤다.

<문제3>

다음 숫자 카드를 한 번씩 사용해 (두 자리 수)×(두 자리 수)를 만들 때, 가장 큰 수는 얼마입니까?

아까는 세 자리였는데 이번엔 두 자리니까 좀더 쉬워 보였다.

“음, 이 수를 크기 순서대로 늘어놓으면 9, 6, 5, 3이야. 일단 두 수를 뽑아서 큰 수를 만들고, 남은 숫자들로 되도록 큰 두 자리 수를 만들면 되겠지?”

익재는 96×54를 만들고 나서 답을 맞춰 봤다. 그런데 이게 웬일? 또 정답이 아니었다. 구구단도 잘 외우고 곱셈이 뺄셈보다 쉽다고 생각했던 익재는 속이 몹시 상했다.

“음, 그렇다면 있는대로 다 구해 보겠어. 그러면 반드시 정답을 구할 수 있겠지!”

익재는 땀을 뻘뻘 흘리며 이런 수, 저런 수를 만들어가며 열심히 곱하기를 했다. 그러다보니 평소에 좋게 생각했던 곱셈이 싫어지면서 짜증이 나기 시작하고, 이러다간 밤을 새도 다 못할 것 같다는 생각마저 들었다.

익재를 도와줄 수 있는 과학적이고 효과적인 풀이방법은 없을까? 먼저, 익재가 문제풀이에 실패한 원인을 살펴보자. 익재가 실패한 이유는, <문제1>를 풀었던 방식 그대로 <문제2>나 <문제3>을 풀려고 했기 때문이다. 이런 문제들을 잘 풀 수 있으려면 자릿값의 원리와 곱셈의 원리를 확실히 알고 있어야 한다.(자릿값의 원리에 대해서는 다음 주에 좀더 자세히 알아볼 것이다).

<문제2>를 보자. (세 자리 수) × (한 자리 수)의 세로셈은 다음 과정으로 진행된다.

이 곱셈 과정에서 알 수 있는 것처럼, ‘☆자리에 있는 수가 가장 여러 번 곱해진다’는 것이 바로 핵심이다. 주어진 수로 만들 수 있는 곱 중에서 가장 큰 곱을 원한다면? ★는 9여야 한다. 세 자리 수에서는 백의 자리에 있는 수의 값이 가장 크기 때문에, 처음에 주어진 수들 가운데 9를 뺀 남은 수가 백의 자리에 오면 된다. 이런 식으로 하면 정답을 구할 수 있다. 653×9 =5877.

<문제3>도 같은 원리다. 하지만 좀더 복잡하다. 두 자리 곱셈은 다음과 같이 계산한다.

이 곱을 크게 하려면 맨 앞 자리에는 되도록 큰 수들이 있어야 한다. 3, 5, 6, 9중에서는 9와 6이 가장 크므로 이 수들을 각각 맨 앞자리에 놓자. 일의 자리 수끼리 곱한 것보다는 대각선 방향으로 곱한 수들의 자릿값이 더 크다. 따라서 서로 대각선끼리의 곱을 크게 해야 한다. 그렇다면 남아 있는 5와 6을 각각 어느 자리에 놓아야 할까? 9×6이 9×5보다는 크니까, 9와 마주보는 자리에 6을 써야 한다. 그리고 나서 남은 자리에 5를 넣으면 된다.

익재가 진즉 이런 방법을 알았다면 얼마나 좋았을까? 하지만 이제라도 늦지 않았다. 무작정 아무 수나 만들어서 되는대로 곱하지 말고, 잠시 그 원리를 생각해 보고 나서 좀더 과학적인 방법으로 문제를 푸는 것이 좋다. 계산 문제 하나에도 사고력은 필요하다!

강미선/<행복한 수학 초등학교> 저자 [e-mail]