인내의 과정 뒤에는 ‘수학풀이’ 기쁨이…

이동흔 남강고 수학교사

이동흔 교사의 수학 비타민 /

제가 취미삼아 하고 있는 일은 나비를 채집하는 일입니다. 지난 겨울에 경기도의 청계산에서 녹색 부전나비의 알을 채집한 후 집에 와 부화시켜 애벌레를 키워 본 적이 있습니다. 혐오스러워 많은 사람들로부터 보는 것마저 외면당해왔던 애벌레가 번데기가 된 후 껍질을 뚫고 나오는 아픔을 겪은 후엔 다시는 볼 수 없는 아름다움을 간직한 나비가 되는 것을 지켜본 적이 있습니다. 어린아이들도 자라기 위해선 성장통을 경험해야 합니다. 자연은 고통이라는 방법을 통해 성장을 예견하게 됩니다.

깨달음이 안다는 것과 다른 점은 깨달음에는 인생의 아픔을 동반한다는 것입니다. 수학을 이해하는 것은 알아가는 과정이라기보다 좀 더 깊은 의미에서 고통을 동반한 깨달음의 과정이요 성장의 과정입니다. 즉, 수학적 지식을 이해하는 과정에서 겪게 되는 아픔은 변화를 알리는 청신호와 같은 것입니다.

많은 학생들은 수학적 지식을 쉽고 편하게 이해하고 단순하게 활용하길 원합니다. 그러나 이것은 아픔이라는 과정이 없이 자신의 것이 될 수 없다는 자연의 위대한 진리를 망각한 것입니다. 수학은 자연의 언어요 자연의 일부분이기 때문에 더욱 그러합니다.

지난 호에 필자는 여러분들에게 수학을 통한 통합논술과정에서 수학적 모델링을 이야기한 바 있습니다. 우리는 이 과정 속에 고통을 이겨내는 인내의 과정을 넣어야 합니다.

즉, 수학문제를 푸는 과정을 애벌레가 나비가 되는 과정이라 생각하는 것입니다. 우리는 반드시 죽음을 무릅쓰고 문제를 해결해야만 합니다. 무척 재미있어지죠. 답을 보고 싶은 마음은 사라질 것이고 여러 가지 방법으로 해결하고픈 마음이 저절로 생겨날 것입니다. 왜냐하면 우리는 살아남아야 하고 나비가 되어야 하기 때문입니다. (나비가 된다는 것은 문제를 해결함을 나타내는 은유적 표현) 다음 문제를 통하여 어려움을 극복하는 기쁨을 느껴봅시다.

1부터 16까지의 자연수를 적당히 한 줄로 늘어놓아 서로 이웃하는 두 수의 합이 항상 어떤 수의 제곱수가 되도록 할 경우, 양쪽 끝에 놓이게 되는 두 수를 찾아라.

문제를 해결할 때 학생들은 갑자기 떠오르는 생각들을 늘어놓는 경향이 있습니다. 논리적인 사고를 통한 인내의 과정을 버리면 문제해결이 어려워짐을 잊은 것입니다. 이럴 경우, 학생들은 무작정 떠오르는 수 하나를 처음에 놓고 무턱대고 수를 늘어놓아 답인지를 확인하는 시행착오의 과정을 반복하게 되는 데 때로는 몇 일이 걸릴 지 아무도 알 수 없습니다. 이와 같을 경우 문제를 해결하는 기발한 아이디어가 경우를 나누는 것입니다.

맨 앞과 뒤에 오는 수는 중간에 들어가는 수와 다른 특징이 있습니다. 중간에 오는 수는 항상 좌우의 수와 더하여 완전제곱수가 되는 경우가 2가지 이상 있어야 하고 맨 앞과 뒤의 수는 한 번만 제곱수가 되면 된다는 것입니다. 즉, 특징에 따라 경우를 나누는 것이죠. 이것이 수학적인 모델링 과정에서 문제를 해결하는 좋은 기술입니다. 따라서 제곱수가 될 수 있는 경우를 나눠보면 다음과 같다.

4 =1 +3

9 = 1 + 8 = 2 + 7 = 3 + 6 = 4 + 5

16 = 1 +15 = 2 +14 = 3 +13 = 4 + 12 = 5 +11 = 6 +10 = 7 + 9

25 = 16 + 9 = 15 +10 = 14 +11 = 13 +12

여기서 1을 사용하는 경우는 3가지, 2를 사용하는 경우는 2가지, …16을 사용하는 경우는 1가지입니다. 즉, 8과 16은 한번 만 사용되므로 2번 이상 사용되는 중간수는 될 수 없습니다. 따라서 8, 16이 답인 것을 알 수 있습니다. 이제 다음 문제를 통하여 아픔을 이겨내고 성장하는 연습을 해봅시다.

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<예시문제>

다음은 16개의 정사각형이 있는 그림이다. 이 16개의 정사각형에서 임의로 세 개의 정사각형을 선택하여 지뢰를 매설하고 지뢰를 매설하지 않은 정사각형 안에는 이 정사각형과 변 또는 꼭지점을 공유하는 정사각형들에서 지뢰가 매설된 정사각형의 개수를 써넣기로 약속하자. 이 때 지뢰를 매설하지 않은 정사각형에 쓰여 지는 숫자의 합이 갖는 최대값을 구하여라.

이 문제는 많은 친구들을 좌절시키고 말 것입니다. 이 때 필요한 것이 아픔을 딛고 일어나는 끈질긴 인내의 정신과 논리적인 사고의 과정입니다. 생각의 방법은 경우를 나누어 생각하는 전술입니다.

무작정 관찰을 해서는 안 됩니다. 왜냐하면 정사각형들의 구별된 특징을 파악해야하기 때문이죠. 즉, 16개의 정사각형을 다음과 같이 두 개의 영역으로 나누어 생각을 해보는 것입니다. A영역의 특징은 이 영역에 지뢰가 매설되었을 경우, 이 사각형을 둘러싼 수의 최대값은 5가 되는 것이고 B영역의 특징은 이 영역에 지뢰가 매설되었을 경우, 이 사각형을 둘러싼 수의 최대값은 8이 된다는 것입니다.

이렇게 구별하고 나면 3개의 지뢰를 매설하는 경우는 다음과 같은 4가지 경우로 제한되게 됩니다. 즉, 문제해결이 용이해진 것이죠.

위의 경우에 따라 16개의 정사각형 블록 안에 적힌 숫자의 합의 최대값은 19가 되는 것입니다.

이동흔 남강고 [e-mail]