성냥개비 퀴즈，규칙을 찾아라!

수학개념 쏙쏙

“엄마, 내일 학교에서 수학여행 가잖아요. 제 운동화가 너무 낡아서 새로 샀으면 좋겠는데….” 경호의 말이 끝나기도 전에 얼른 경선이가 말했다. “엄마 나도!” 경호는 기가 막히다는 듯 경선을 보며, “야, 네가 수학 여행 가냐? 네 운동화는 새 거잖아.”라고 하자, 경선이는 “오빠만 새 운동화 신는 게 어딨어? 오빠 것 사면 당연히 내 것도 사야지. 공평하게”라고 말했다.

엄마는 대답하는 대신 이렇게 말했다. “경선이 너 지금 공부할 시간이잖아. 얼른 학습지랑 일기 써.” 경선이는 입을 삐죽이며 말했다. “오빠는 지금 공부 안 하잖아요. 오빠가 공부하면 저도 할 거에요.” “야! 너 왜 사사건건 나를 갖고 그래. 내가 공부하든 말든, 너는 네 공부하면 되잖아.” “싫어. 오빠가 해야 나도 할 거야.” 엄마는 한숨을 한번 푹 쉬고 말했다. “알아서 해. 그리고 나는 마트 가서 장 보고 올 테니까 엄마 올 때까지 각자 알아서 하고 있으렴.” 그러자 경선이가 얼른 말했다. “저도요! 저도 엄마 따라 마트에 갈래요.” “안되겠다. 경호야, 너 지금부터 방에 들어가서 공부해라. 그리고 경선이도 오빠 따라 공부 하고 있어.” “싫어요. 엄마 따라 갈래요.”

그러자 엄마가 단호한 목소리로 말했다. “좋아. 마트는 나중에 가야겠다. 엄마는 집에 있을 거고, 오빠는 이제부터 공부 할 거야. 경선이는 어떻게 할래?” “그럼 저는 TV 볼래요. 원래 계획표대로 하면 지금부터 쉬는 시간이거든요.” 엄마와 경호는 서로 마주 쳐다보며 한 숨을 쉬었다.

누가 무엇을 하면 그대로 따라하는 것을 ‘종속적’이라고 한다. 그대로 따라하지 않고 정 반대로 하는 것도 ‘종속적’인 것이다. 독립적인 사람은 다른 사람이 어떻게 하든 상관없이 스스로 알아서 자기 할 일을 할 것이다.

이것이 수학과 무슨 관계가 있을까? 수학에서는 ‘규칙 찾기’ 내용이 많은데, 규칙을 찾는 것에는 종속적인 관계가 들어있다.

다음은 5-가의 ‘문제 푸는 방법 찾기’에 있는 내용이다.

이 문제를 좀 더 자세히 살펴보면, 맨 처음에 삼각형 1개를 만들려면 성냥개비가 3개 필요하다. 그 다음 성냥개비 2개를 더 사용하면 삼각형 2개를 만들 수 있다. 그리고 또 성냥개비 2개를 더 사용해서 삼각형 3개를 만들 수 있다. 이 과정을 풀어서 그리면 다음과 같다.

이것을 표로 만들어 보자. 표를 그릴 때는 무엇을 정리할 것인지를 먼저 정해야 한다. 이 문제에서는 성냥개비의 수와 삼각형의 수의 관계가 중요하므로, 표의 왼쪽 줄에 성냥개비와 삼각형의 수의 적는 칸을 만든다. 윗줄에 성냥개비의 수를 쓰고 아래에 삼각형의 수를 쓸 수도 있지만 보통은 윗줄에 삼각형의 수를 쓴다. 정확하게 정삼각형을 만들고 나서 그 때 사용된 성냥개비의 수를 세기 때문이다.

　

　

　　

교과서 문제에서는 정삼각형 17개를 만들어야 한다고 하였다. 그렇다면 이 표를 계속 이어 그려야 할까? 물론 일일이 표에 적어서 구할 수도 있겠지만, 성냥개비와 삼각형의 수 사이에는 일정한 규칙이 있다는 것을 알았다면 규칙을 활용하는 것이 훨씬 효과적인 방법이다.

　규칙을 알아챈 아이들 중에는, ‘가로’ 방향을 보는 경우가 많다. 즉, 3,5,7,9 등의 하나의 ‘수열’로 보고, 3부터 시작해서 2씩 커지는 수를 계속 쓴 다음에 17번째 수를 구해서 답을 낸다.

　

　 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35.

　

　“답은 35!”

　

우리는 이 문제를 위 에피소드의 경선이의 입장에서 살펴보자. 정삼각형의 수가 늘어나면 성냥개비의 수도 ‘따라서’ 늘어나는 관계(종속적)를 보는 것이다.

　

이 관계를 잘 보면, 정삼각형의 수가 커지면 성냥개비의 수도 따라서 커진다. 정삼각형의 수가 1 늘어나면 성냥개비의 수가 2 늘어나고, 정삼각형의 수가 2 늘어나면 성냥개비의 수가 4 늘어나는 것. 이 때 늘어나는 성냥개비의 수는 늘어나는 정삼각형이 수의 딱 2배이다.

정삼각형의 수가 17개라면 처음 1개일 때보다 16개 늘어난 것이고, 따라서 성냥개비는 16의 2배인 32가 늘어나게 된다. 정삼각형 1개일 때의 성냥개비의 수가 3개였으므로 여기에 늘어난 32를 더하면, 답은 35!

대응표에서 윗 줄의 수와 아랫줄의 수의 관계를 파악하는 것은 중학교 이상의 수학과의 연계성 측면에서 볼 때 상당히 중요하다. 중학교 이상에서는 이 관계를 식(y=2x+1)으로 나타내고 그래프도 그린다.

수학 뿐 아니라 우리 주변에서 벌어지는 일 중에서 어떤 규칙이 있는 경우가 많다. “성냥개비의 수를 아는 게 왜 중요하지?”라고 생각하지 말고, 이런 간단한 문제를 통해서 규칙과 관계를 파악하는 능력을 기르도록 하자.

　

강미선 /<행복한 수학 초등학교> 저자 [e-mail]