‘집합’을 알면 수리통합논술 뚫린다

수사자와 암호랑이 사이에서 태어난 라이거.

이동흔 교사의 수학비타민/
[난이도=고2~고3]

수학에서 수리통합논술을 공부하는 데 가장 중요한 것은 명확한 개념을 알아야 문제 해결이 쉽다는 것입니다. 집합은 다양한 현상을 논리적으로 분류하고 구조적으로 관찰하는 데 핵심적인 기술을 제공합니다. 따라서 집합은 논술에서 논리적인 사고를 높여주는 중요한 도구인 셈이죠.

통합논술에서는 집합의 정의를 심도 있게 다루는 경향이 있습니다. 따라서 집합의 정의를 명확히 이해하고 활용하는 능력을 키울 필요가 있습니다. 따라서 다음과 같이 공부하는 것이 매우 중요합니다.

집합에서 수리통합논술 공부하기

도입.

어느 날 혜람이는 다솔이에게 질문을 받았습니다.

언니, 어제 동물원에서 라이거를 봤는데, 라이거는 호랑이야? 사자야?

혜람이 : ?

우리가 이와 같은 상황에서 명확한 답을 하기 위해서는 호랑이와 사자에 대한 구별의 기준이 있어야 합니다. 이 때, 자연스럽게 등장하는 것이 집합이라는 개념입니다.

수학교과서에서는 집합에 대해 “주어진 조건에 알맞은 대상을 명확히 정의할 수 있는 것들의 모임”이라고 정의합니다. 생물학에서 생물종을 명확히 구별할 수 있는 기준이 없다면 종의 분류는 어렵게 되겠지요. 이와 같은 경우에 수학에서 사용하는 집합이 생물학적인 종의 분류에 유용하게 활용되고 잇는 것입니다.

우리가 많이 사용하고 있는 점자도 하나의 집합이 되는 것입니다. 현재 쓰이는 점자는 모두 6개의 점으로 구성되어 있고 종으로 3점, 횡으로 3점으로 구성되고, 왼쪽 위에서 아래로 1, 2, 3 점 오른쪽 위에서 아래로 4, 5, 6 점의 고유 번호를 붙여 사용합니다. 이 6개의 점들은 ‘색칠을 하느냐 , 색칠하지 않느냐’에 따라 부분집합에서의 ‘속하느냐, 속하지 않느냐’라는 수학적인 개념을 이용해 64개의 서로 다른 점형을 만들 수 있게 되는 것이죠.

위에서 표현한 ㅋ의 경우는 124점이라고 읽습니다. 예를 들어서 첫소리 “ㄱ”은 4점이라고 정의합니다.

64개의 점형 중 점을 하나도 찍지 않은 것을 빈 칸으로 약속하고 단어 사이를 띄우는 데 사용됩니다. 그 외의 63개의 점형을 초성 자음 13자, 종성 자음 14자, 모음 21자, 약자 27자, 약어 7개, 숫자, 문장 부호 등에 배정해 사용하고 있는 것입니다. 이와 같이 집합적인 사고는 사회 전반에 활용되고 있습니다.

새로운 용어 알아두기

‘힐베르트의 호텔’

집합이 활용되는 다음 용어의 이야기는 읽어 둘 필요가 있습니다. ‘힐베르트의 호텔’이라고 불리는 이 유명한 이야기는 힐베르트가 종업원으로 일하는 상상속의 호텔에서 시작됩니다. 이 상상속의 호텔에는 무한개의 객실이 있었습니다. 어느 날 한 손님이 호텔에 찾아와 무한개의 객실에 투숙객이 가득 차 있어 빈 방을 내어 줄 수 없었으나 종업원인 힐베르트에게 방을 하나 달라고 애원을 합니다. 잠시 생각에 잠겼던 힐베르트는 새로 온 손님에게 빈방을 마련해 줄 수 있다고 호언장담을 하게 됩니다. 그는 객실로 올라가 모든 투숙객들에게 정중하게 부탁을 합니다.

“죄송하지만 손님들께서는 옆방으로 한 칸씩만 이동해 주시기 바랍니다.”

이해심 많은 손님들은 힐베르트의 부탁을 잘 들어 주어 1호실 손님은 2호실로, 2호실 손님은 3호실로…. 잠시 뒤 이동은 끝나고 기존의 투숙객들은 모두 옆방으로 옮겨갔으며, 자기 방을 못 찾아 헤매는 사람도 없었습니다. 그리고 새로 온 손님은 비어 있는 1호실로 여유 있게 들어가게 된 것입니다. 이것은 무한대에 1을 더해도 여전히 무한대임을 말해주는 좋은 예인 것입니다.

그런데 다음날 밤, 호텔에는 더욱 곤란한 문제가 발생했습니다. 투숙객이 방을 모두 점거하고 있는 상태에서, 무한히 긴 기차를 타고 온 무한대의 손님들이 새로 도착한 것입니다. 힐베르트는 당황하지 않고 무한대의 숙박료를 더 받을 수 있다고 좋아하는 것이었습니다.

그는 곧 객실에 안내 방송을 내보냈다.

“손님 여러분, 죄송하지만 현재 묵고 계신 객실 번호에 2를 곱하셔서, 그 번호에 해당되는 객실로 모두 옮겨 주시기 바랍니다. 감사합니다!”

이동흔 남강고 교사

이리하여 1호실 손님은 2호실로, 2호실 손님은 4호실로 모두 이동을 마치게 되고 자기 방을 빼앗긴 손님이 하나도 없는 상태에서 호텔의 홀수 번째 방에 생긴 무한개의 빈 객실에 새로 도착한 무한대의 손님들은 배정할 수 있었습니다. 이것은 무한대에 2를 곱해도 여전히 무한대임을 말해주고 있으며 자연수의 집합과 짝수의 집합은 무한에서 동일한 크기의 집합임을 나타내는 것입니다. 셀 수 있는 무한대의 집합에서 크기를 비교하는 것이 쉽지 않음을 나타내는 유명한 일화입니다.

이동흔 남강고 교사 [e-mail]